Matematyka, ekonomia, probabilistyka

Ekonomia jest nauką społeczną o produkcji i wymianie

decyzje podejmuje tu osobnik idealny - homo oeconomicus. Ekonomię zaczęliśmy uprawiać dopiero po nieposłuszeństwie Ewy. Dlatego obok modelu homo oeconomicus należy także posługiwać się modelem z krwi i kości: homo antyoeconomicus. Wszystko pulsuje, świat jest cykliczny, więc ludzkie uczucia ulegają także wariacji. Błądzenie myśli jest szczególnie ważne w ekonomii, bo współczesna ekonomia to reklama, a reklama ma za fundament podświadomość i Freuda. Sfera podświadomości jest w jakimś sensie poza nauką. Jest to może dziedzina sztuki, a może tego, co się umownie nazywa paranauką lub parapsychologią. Stany podświadomości ilustruje malarstwo Goyi, a szczególnie obraz: Gdy rozum śpi, budzą się upiory. Fluktuacje myśli skutkują decyzjami, którym nie możemy przypisać reguły. Decyzje ekonomiczne zależą także od kaprysu, czasem od łez kobiety, a rezultat końcowy rzadko kiedy jest przewidywalny. Bunt przeciw porządkowi świata generuje losowość.

Podejmuje się także decyzje losowe: w sporcie powszechnie, ale też i w ważnych sprawach życiowych i państwowych. W rozgrywkach sportowych grupy eliminacyjne ustala się losowo albo pół losowo - częściowo uczestników wybiera się według pewnego schematu. Dlaczego decyzje losowe mają być lepsze, adekwatniejsze i sprawiedliwsze? Podjęcie każdej decyzji jest zawsze trudnym zadaniem. Los zwalnia nas od odpowiedzialności za decyzję i czyni ją w naszych oczach obiektywną i sprawiedliwą. Podobnie jest z plutonem egzekucyjnym. Strzela cały pluton, ale tylko w jednym karabinie jest nabój ostry. Los zdejmuje z nas odpowiedzialność, a jednocześnie wybiera to, co konieczne.

Wielką karierę zrobiły ostatnio spekulacje giełdowe. Pojawiło się mnóstwo publikacji na ten temat. Jak szybko i pewnie, przy minimalnym ryzyku, zdobyć majątek? Jak wygrać na giełdzie? Jak przegrać na giełdzie nikt nie uczy. Przypuśćmy, że na giełdzie znalazł się utracjusz, homo antyoeconomicus, który chce stracić jak najwięcej. On minimalizuje wartość oczekiwaną wypłaty. I tutaj istnieje rozwiązanie. Homo oeconomicus ma rozwiązanie gwarantujące największą wartość oczekiwaną, homo antyoeconomicus - minimalną wartość oczekiwaną. Następuje chwila realizacji. I cóż może się okazać? Ten, który chciał stracić zyskał, a ten, co chciał zyskać - stracił. Jest to paradoks. Paradoks programowania stochastycznego. Prawdopodobieństwa mają niewielki wpływ na decyzje życiowe; liczy się intuicja i przeczucie. Racjonalna giełda, owszem jest prognozowalna, ale kto widział racjonalną giełdę? Konieczne jest to, co się zdarza, co jest, a za przypadkowe uchodzi to, co możliwe; to, co się zdarzyło przez to samo straciło naturę przypadkową, a stało się koniecznością. Homo oeconomicus jest prognozowalny, bo homo oeconomicus jest podstawową zasadą ekonomii - zasadą gospodarności, a zasada gospodarności jest tożsama, w sferze ekonomicznej, z zasadą równowagi. Homo oeconomicus rządzi nauką, więc z tego właśnie powodu jest prognozowalny. Giełdą rządzi homo antyoeconomicus. Homo antyoeconomicus jest nieprognozowalny, bo nim rządzi kaprys. Szczegółu nie można przewidywać na podstawie praw rządzących idealną naturą.

Z tablic wymieralności wiadomo, że określony procent populacji nie przeżyje najbliższego roku. Jest to prognoza jak najbardziej naukowa. Na podstawie tych tablic niczego konkretnego nie można powiedzieć o wybranej osobie przynależnej do wspomnianej grupy. Konkretna osoba może zginąć w wypadku, może zwyczajnie umrzeć. Przewidywania naukowe oparte na wiedzy medycznej mogą tu być, co prawda, pomocne, ale nie przesądzają skutku. Nie mamy żadnych gwarancji, że najzdrowszy człowiek przeżyje najbliższą godzinę. Wiek zmarłego jest zmienną losową. Wartość oczekiwana tej zmiennej i wariancja charakteryzują warunki życia. Jeśli jednak weźmiemy konkretną osobę, to ogólne prawo tyczące się długości życia przestaje tu obowiązywać; dla ustalonej osoby długość życia również jest zmienną losową, ale innego rodzaju. Zjawisko losowe w zbiorowisku jednostek, w masowości, przestaje być losowe, gdy rozpatrujemy poszczególne jednostki lub też nabiera innego charakteru losowego. Qui unum vidit,nihil vidit; qui mille vidit, unum vidit. Kto jedną rzecz widział, nie wie co widział, bo nie zna reguły; kto 1000 rzeczy widział, ten widział jedną rzecz idealną - odkrył prawo. Ogół to jeden ideał, szczegół - to miliony zdarzeń. Taka jest różnica pomiędzy ideałem a szczegółem, między determinizmem a losowością. Ideał jest jeden, konkretów - miliony. Zbiór jest jeden, ale jest zdeterminowany przez wiele swoich elementów.

Dawid Hilbert w 1900 roku na II Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu sformułował 23 problemy do rozwiązania w XX wieku. Szósty z tych problemów dotyczy aksjomatyzacji fizyki i rachunku prawdopodobieństwa. Hilbert utożsamia rachunek prawdopodobieństwa z metodąśrednich wartości. Problem jest sformułowany w języku potocznym; zadziwia intuicja Hilberta, który powiedział dokładnie to, co Kołmogorow zrobił wiele lat później, bo w 1933 roku. Pierwszy problem Hilberta jest słynną hipotezą continuum. Czy w zbiorze liczb rzeczywistych R są tylko dwa gatunki nieskończoności, czy też jest ich więcej? Problem ten został rozwiązany. I co się okazało? Rzecz niezwykła: można odpowiedzieć nie - będzie dobrze, można powiedzieć tak - będzie jeszcze lepiej. Nieskończoność to bardzo delikatna materia i lepiej zostawić ją w spokoju: nie ma narzędzi. Wyjątkiem jest słynna metoda przekątniowa Cantora. Świat wokół nas ma naturę skończoną.

Metoda przekątniowa jest tak prosta i piękna, że koniecznie muszę ją tu zaprezentować. Jest to bowiem ważny element współczesnej kultury naukowej; metodą Cantora dowodzi się fundamentalnych twierdzeń tyczących się podstaw matematyki i całej nauki. Wynik jest spodziewany. Jeżeli istnieje zbiór nieskończony, to istnieją prawdy bez dowodu: więcej jest zdań prawdziwych niż twierdzeń z dowodem - zbiór zdań prawdziwych jest liczniejszy niż zbiór dowodów. Dowodzą ludzie; Bóg nie dowodzi - Bóg widzi. Wróćmy do Cantora i jego dowodu, że każdy zbiór X ma mniej elementów niż rodzina P(X) jego podzbiorów. Jeżeli jest zbiorem dwuelementowym, to liczy 4 elementy, gdzie 0 oznacza zbiór pusty. Tu nie potrzeba dowodu, tu widzimy. Dowodzimy a contrario; zakładamy, że teza jest fałszywa: istnieje więc zbiór X równoliczny z rodziną wszystkich swoich podzbiorów P(X). Niech funkcja ustala równoliczność; oznacza to, że każdy element ze zbioru X połączony jest strzałką z pewnym podzbiorem zbioru X i że dwie strzałki w żadnym punkcie się nie spotykają - funkcja f jest różnowartościowa (rys. 12). Podzbiory zboru X dzielą się na dwa gatunki: czerwone i niebieskie . Każdy podzbiór jest albo czerwony, albo niebieski - inaczej być nie może.

Rys. 12. Równoliczność

Niech B oznacza zbiór ; B jest zbiorem tych argumentów, że f(a) jest niebieski. Jakiego koloru jest zbiór B? Niech ; oczywiście lub . Jeżeli , to B jest zbiorem czerwonym; z definicji B wynika jednak, że . Otrzymaliśmy sprzeczność. Oznacza to, że . Zbiór B jest więc niebieski. W tym wypadku mamy także sprzeczność: skoro , to z definicji B wynika, że . Zbiór B nie może być ani czerwony, ani niebieski. Ponieważ innej możliwości nie ma, więc X nie jest równoliczny z rodziną swoich podzbiorów. Funkcja f nie istnieje. Podzbiorów jest więcej niż elementów zbioru. Metoda przekątniowa Cantora jest silnym narzędziem podstaw matematyki. Nazwę objaśnia rys. 13; punktom odcinka [0, 1] - symbolizującego X - przyporządkowano podzbiory tego odcinka; jeżeli f(a) przecina przekątną to f(a) jest czerwony, a gdy nie przecina - niebieski. Zbiorem czerwonym jest zawsze X, a zbiorem niebieskim - zbiór pusty.

Rys. 13. Metoda diagonali

Co powoduje, że każdy liść na drzewie jest inny?

Jaka jest przyczyna tego, że w lesie nie ma dwóch drzew takich samych? Dlaczego wszyscy członkowie 5 000 000 000 rodziny ludzkiej są różni? To wszystko tłumaczy zasada równowagi. Zasada ta indywidualizuje i dzięki niej mamy różnorodność; odmienne pole grawitacyjne, inna szerokość geograficzna, różny magnetyzm ziemski: wszystko to objawia się dla nas jako czynniki losowe. Bo nie potrafimy ich zmierzyć, uwzględnić ich wpływu, po prostu nie znamy praw. Prawa przyrody, prawa nauki są konieczne: natura jest regularna. Prawa nauki dotyczą obiektów idealnych, świat różni się od swego ideału naukowego. Czy świat jest konieczny, czy też możliwy? Na wynikach naszych działań zawsze kładzie się nieprzewidywalny przypadek, bo wiedza jest ograniczona. To może ruch motylich skrzydeł gdzieś w Amazonii rozstrzyga - w długim łańcuchu przyczyn i skutków - o wynikach naszych finezyjnych planów. Za zjawiska losowe uważa się czynniki, których mała zmiana może spowodować nieprzewidywalne skutki globalne. Inaczej mówiąc, to jest losowe, co jest niestabilne, co jest nieciągłe. Dziś wiemy, że niestabilność można łatwo objaśnić przez podwyższenie wymiaru. Jest to główne przesłanie ideologiczne modnej swego czasu teorii katastrof.

W sztuce nie lubimy schematów, tu liczy się zaskoczenie, coś rzadkiego, nieprzewidywanego. Aleatoryzm miał i ma licznych zwolenników w malarstwie i w muzyce. Jednakowoż wyżej cenimy dzieło zrobione ręką ludzką niż nawet najpiękniejszy fraktal generowany przez maszynę. Myślę, że w przyszłości potrafimy jednym prostym wzorem zakodować zdjęcie rodzinne. Badania nad fraktalami są ważne w społeczeństwie informatycznym, jakim niespodziewanie staliśmy się. Te badania pokazują jak losowe z pozoru zjawiska są w gruncie rzeczy czysto deterministyczne. W przyrodzie nie ma czystego chaosu; rachunek prawdopodobieństwa ujmuje tylko naszą niewiedzę.

  1 | 2 | 3 | 4 | 5